I matematici sostengono che questa scienza offre a una persona la possibilità di essere con l’infinito “su di te”. Pertanto, il matematico Alexei Savvateev definisce la matematica un passo attraverso l’infinito. “Padroneggiare la matematica”, scrive nel suo libro, “è quando diventi “un te “con l’infinito. E più conosci l’infinito, meglio comprendi la matematica. ” Per capire come gli scienziati immaginano l’infinito matematico, consideriamo una sequenza di numeri naturali 1, 2, 3, 4, … che può potenzialmente essere continuata indefinitamente. Tali processi continui sono solitamente i primi esempi di un concetto così complesso come l’infinito. Nel frattempo, in matematica, i processi che non hanno limiti o punti finali sono abbastanza comuni.
Le prime riflessioni sull’infinito matematico sono probabilmente i paradossi del filosofo greco Zenone. Uno di questi (scritto nel V secolo a.C.) riguarda Achille, il più agile di tutti i greci, che deve correre con una tartaruga. Secondo il paradosso, l’Achille dai piedi veloci non raggiungerà mai una tartaruga tranquilla se all’inizio del movimento la tartaruga è davanti ad Achille.
Aristotele era anche preoccupato per questo e altri misteri sulla divisibilità infinita. L’universo, pensò, non può essere infinitamente grande. Se così fosse, anche la sua metà sarebbe infinita. Ma cosa rende tutto l’infinito più della metà? Apparentemente niente; sono entrambi infiniti, quindi devono avere le stesse dimensioni. Ma non possono avere le stesse dimensioni, poiché una metà è più grande dell’altra. Aristotele solleva una serie di altre obiezioni e conclude che l’universo deve essere finito. Guardando le stelle sopra di lui, arriva alla conclusione che il cosmo è costituito da una sfera enorme (ma finita) con la Terra al centro.
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Tuttavia, non appena Aristotele lo suggerì, qualcuno si domandò cosa ci fosse dall’altra parte della sfera. Nel terzo secolo a.C. Archimede calcolò quanti granelli di sabbia sarebbero stati necessari per riempire l’universo di Aristotele, e nel Medioevo San Tommaso d’Aquino sostenne Aristotele, e questa visione divenne la principale per la chiesa.
Tutto è cambiato quando Nicolaus Copernicus ha dichiarato che la Terra non era il centro dell’universo. Successivamente, nel XVII secolo, Galileo Galilei fu riconosciuto come un pensatore pericoloso, perché contemplava apertamente l’infinito. Il mondo è infinito, credeva, e la materia è eterna. Molto più tardi, negli anni ’20, il matematico tedesco David Hilbert inventò un famoso esperimento mentale per mostrare quanto sia difficile afferrare il concetto di infinito.
Paradosso dell’Infinite Hotel
Si basa su questo, diciamo che sei un receptionist in un hotel con il nome simbolico “Infinity”. Tutte le camere d’albergo, di cui ce ne sono infinite, sono piene, ma all’improvviso compare un nuovo ospite. Devi davvero cacciarlo fuori? No, tutto ciò che devi fare è spostare l’ospite dalla camera 1 alla camera 2, l’ospite dalla camera 2 alla camera 3 e così via. A quel punto la prima camera è ora disponibile per un nuovo ospite. Ma cosa succede se un numero infinito di nuovi ospiti appare?
L’inquilino della prima stanza va nella stanza numero 2, e l’inquilino della seconda stanza va nella stanza tre, e così via… all’infinito. Poiché i numeri delle stanze sono raddoppiati, diventando così numeri pari, ora è possibile inserire infiniti nuovi ospiti nelle stanze dispari (ora libere). Devono esserci tanti numeri pari quanti sono i numeri, poiché ci sono un numero infinito di stanze, siano esse pari o dispari. Di conseguenza, possiamo posizionare tutti i numeri senza resto solo nelle “stanze” occupate da numeri pari. Questo esperimento mentale è noto come Infinite Hotel Paradox, che illustra perfettamente le proprietà di insiemi infiniti.
Secondo il creatore della teoria degli insiemi, il matematico Georg Cantor, ci sono molti numeri e questo numero infinito di numeri descrive molti tipi di numeri. Ad esempio, nel paradosso, il numero di numeri in totale era uguale al numero di numeri pari (e numeri dispari, numeri primi e multipli di un miliardo, ecc.). Oggi questo sembra ovvio, ma non lo era per Aristotele e per i suoi seguaci, che consideravano l’infinito effettivo un concetto scientifico inaccettabile.
Cantor ha anche dimostrato che il numero di frazioni è uguale a questo numero infinito, che ha chiamato aleph-zero. La cosa bella è che ha dimostrato (usando il cosiddetto argomento diagonale) che ci sono più di un numero infinito.
Il lavoro di Cantor incontrò notevoli resistenze, ma alla fine vinse ed è ormai quasi universalmente accettato. Rimane una minuscola minoranza di matematici, chiamati intuizionisti o costruttivisti, che non credono che si possa davvero comprendere l’idea di totalità infinita. Nel ventesimo secolo, furono raggiunti da filosofi che si chiedevano se la visione dell’infinito di Cantor potesse essere compresa.
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